Jahrg. 67. A. KiEFER. Über Regelflächen zweiten Grades. 383 
Asymptotenkegel K, sind die Erzeugenden von X, nach jenen Punkten 
des Kugelkreises. Auf jeder Erzeugenden des Hyperboloids liegen zwei 
Punkte des Ortes, nämlich die Schnittpunkte der Erzeugenden mit 
der Kegelfläche K’. In jedem dieser zwei Punkte wird die Erzeu- 
gende von einer andern Erzeugenden des Hyperboloids rechtwinklig 
geschnitten; die Verbindungslinien der unendlich fernen Punkte 
dieser zwei andern Erzeugenden umhüllen den  Polarkegelschnitt 
des unendlich fernen Kegelschnittes von K, in bezug auf den Kugel- 
kreis. Dass eine Erzeugende des Hyperboloids von zwei andern Er- 
zeugenden rechtwinklig geschnitten wird, folgt auch daraus, dass die 
Stellung der zur gewählten Erzeugenden senkrechten Ebene den un- 
endlich fernen Kegelschnitt des Hyperboloids in zwei Punkten trifft 
und durch jeden dieser Punkte eine. Erzeugende läuft, welche die 
gewählte schneidet. Liegt auf dem Hyperboloid eine Kurve nter 
Ordnung, so enthält sie 2» Punkte des Ortes, nämlich die Schnitt- 
punkte mit dem Kegel K'. Dieser Kegel und das Hyperboloid be- 
sitzen, wegen der schon angedeuteten Symmetrie, ein Poltetraeder, 
dessen Ecken O und die unendlich fernen Punkte der Axen des Hyper- 
boloids sind; daher gehen durch die Ortskurve vierter Ordnung drei 
Zylinder zweiten Grades, deren Erzeugenden beziehungsweise zu den 
Axen des Hyperboloids parallel laufen. Legt man in einem Punkt 
der Ortskurve an das Hyperboloid die Tangentialebene, so ist sie, wie 
schon bemerkt, zu einer Tangentialebene des Kegels X parallel; daher 
bilden die Tangentialebenen des Hyperboloids, deren Berührungspunkte 
die Ortskurve erfüllen, die gemeinsam umscehriebene developpable 
Fläche des Hyperboloids und des unendlich fernen Kegelschnittes von 
K. Dieser Kegelschnitt und die andern drei Doppelkegelschnitte der 
Developpablen stehen zum Hyperboloid in derselben Beziehung wie 
der imaginäre Kugelkreis und die Fokalkegelschnitte. 
Ist P ein gesuchter Punkt auf dem Hyperboloid, so stehen seine 
2wei Erzeugenden Z,,/, durch P aufeinander senkrecht. Legt man 
durch jede von ihnen eine senkrechte Ebene zur Tangentialebene von 
P, so sind diese Ebenen aufeinander senkrecht und selber Tangential- 
ebenen des Hyperboloids; die Berührungspunkte sind die Sehnitt- 
Punkte von l,,!, mit der konjugierten Geraden zur Hyperboloidnor- 
malen in P. Man findet die konjugierte Gerade, indem man die 
Normale mit dem Hyperboloid zum zweitenmal schneidet, im Schnitt- 
Punkt die Tangentialebene legt und mit der Tangentialebene von P 
schneidet. In P schneiden sich also drei paarweise aufeinander senk- 
rechtstehende Tangentialebenen des Hyperboloids. Bekanntlich ist der 
geometrische Ort aller Punkte, von denen an das Hyperboloid Tripel 
