Jahrg. 67. A. KIEFER. Über Regelflächen zweiten Grades. 385 
aus dem Asymptotenkegel Paare rechtwinkliger Erzeugenden heraus- 
schneiden, existiert auch für das Paraboloid. Verschiebt man die Er- 
zeugenden des Paraboloids parallel nach einem beliebigen Punkte im 
Endlichen, so entsteht ein Ebenenpaar .durch den Punkt und man 
hat durch den Punkt Ebenen zu legen, die aus dem Ebenenpaar recht- 
winklige Schnittlinien herausschneiden. Die Enveloppe dieser Ebenen 
ist eine Kegelfläche, deren unendlich ferner Kegelschnitt die unend- 
lich fernen Erzeugenden des Paraboloids und die Tangenten des Kugel- 
kreises in seinen Schnittpunkten mit jenen Erzeugenden zu Tangenten 
hat. Man kann den Kegeltschnitt auch so finden, dass man auf den 
unendlich fernen Erzeugenden des Paraboloids einen Punkt laufen 
lässt, seine Polare in bezug auf den Kugelkreis mit den Erzeugenden 
schneidet und die Schnittpunkte mit dem gewählten Punkt verbindet; 
der Kegelschnitt berührt die zwei Erzeugenden in ihren Treffpunkten 
mit der Polaren ihres Schnittpunktes in bezug auf den Kugelkreis. 
Die konjugierten Geraden zu den Tangenten dieses Kegelschnittes in 
bezug auf das Paraboloid bilden einen zu seiner Axe parallelen Zy- 
linder und schneiden das Paraboloid in den gesuchten Punkten mit 
sich rechtwinklig treffenden Erzeugenden. Der Zylinder entsteht fol- 
gendermassen. Bewegt man längs des Kegelschnittes eine Tangente, 
so schneidet sie die unendlich fernen Erzeugenden des Paraboloids in 
zwei projektivischen Punktreihen. Die Tangentialebenen des Para- 
boloids, die in entsprechenden Punkten der Reihen berühren, gehen 
durch die Erzeugenden und bilden zwei projektivische Ebenenbüschel, 
deren Erzeugnis der Zylinder ist. Da der Zylinder die beiden Er- 
zeugenden enthält, so schneidet er das Paraboloid noch in einer Hy- 
perbel, welche durch die Berührungspunkte des Kegelschnittes mit 
den unendlich fernen Erzeugenden hindurchgeht. Die Schnittpunkte 
der Zylindererzeugenden mit dem Paraboloid sind die Berührungs- 
punkte der durch die Tangenten des Kegelschnittes gehenden Tangen- 
tialebenen an das Paraboloid. Diese Tangentialebenen bilden eine 
developpable Fläche vierter Klasse, von der sich die zwei Ebenen- 
büschel durch die unendlich fernen Erzeugenden des Paraboloids ab- 
Sondern; der Rest ist eine Kegelfläche zweiter Klasse, deren Be- 
'ührungshyperbel der gesuchte Ort ist. 
1. 
Die im vorigen behandelte Aufgabe über Regelflächen zweiten 
Grades kann in folgender Weise erweitert werden. Gesucht auf einem 
Hyperboloid der Ort des Punktes, in welchem die durch ihn gehenden 
'zeugenden einen Winkel von gegebener Grösse 9 einschliessen. 
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Vierteljahrsschrift d. Naturf. Ges. Zürich. Jahrg. 67. 1922. 
