126 VON KOCH, UPPLÖSNING AF ETT SYSTEM LINEÄRA LIKHETER. 



transcendent funktion i), och apostrofen vid produkt-tecknet ut- 

 märker, att y. ^ f.1 är uteslutet; inför för korthetens skull be- 

 teckningen if.!{u, a^t) för andra termen i högra merabrum, så att 

 J^fju) antar formen 



Ffi{u) = §'(««) + ^{'^^ <^^); 



f'fii^i) är en hel transcendent funktion med egenskaperna 

 F^{ap) = !;'{a^,) (p = 1, 2, . . . ^t — 1, ^t + 1, . . .) 



F^ia,,) = ^'(a^) + 1; 



hvarje funktion FJ(ii) med samma egenskaper som F^i(u) kan 

 framställas under formen 



F^{u) = F,{^,) + G^{u) -ni -^r^' 



x=l\ "z ' 



eller, som är detsamma, 



(31) F,{u) = ^-'(a«) + -^^ • </<«, a,), 



då med gfj.{u) förstås en hel transcendent funktion. Utbytes i 

 högra membrum af (31) a^ mot ap öfvergår ^'{a^ till ^'{ap) och 

 j^(w, a^^ till !/;(?«, cip); om F^^(^f) för godtyckliga ?<-värden skall 

 satisfiera systemet (27) måste vi följaktligen antaga ^^(w)=^(if) 

 (jU = 1, 2, . . .); i det fall att samtliga funktionerna fv{u) för- 

 svinna för n = O, pålägga vi dessutom funktionen g{u) vilkoret 

 y(0) = 0; låt nu S.{an) beteckna den allmännaste lösningen till 

 systemet (29) och ponera 



Xf, = 7(«, a^,) = 5(a^,) + j^ xp{u, a^) 



0^ = 1,2,...); 



funktionerna ;/(w, a^/) framställa då i regeln, om än icke den all- 

 männaste, dock en ganska allmän form för lösningen till det 

 gifna systemet (25). 



') Weiehsteass, Zur Tlitorie der eindeutigen analytischen Funktionen; Abh. 

 d. Königl. Ak. d. "Wiss. zu Berlin, 187(5. 



