131 



Öfversigt af Kongl. Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar, 1890. N:o 3. 



Stockholm. 



Meddelanden från Stockliohus Högskola. N:o 101. 



Om en speciell klass af singulära linier. 

 Af I. Fredholm. 



[Meddeladt den 12 Mars 1890 genom G. Mittag-Leffler.] 



De hittills kända potensserier, hvilka ej kunna analytiskt 

 fortsättas utom sitt konvergensområde, utmärka sig — så vidt 

 författaren har sig bekant — genom följande egenskaper. 



Låt 



00 



P(,:r) = \ ayX'' 

 o 



vara en serie af ofvannämda beskaffenhet, och antag, att radien 

 till dess konvergenscirkel är 1. Förstår jag nu med t en reel 

 -variabel och sätter x = e*^, så öfvergår P{x) i en funktion af 

 t, hvilken i afseende på t ej har derivator af alla ordningar. 

 På denna egenskap har också beviset för omöjligheten att ana- 

 lytiskt fortsätta serien grundats. 



Teorien för de partiella differentialekvationerna lemnar emel- 

 lertid ett medel att framställa vissa potensserier, som ehuru 

 omöjliga att fortsätta utom konvergensområdet icke hafva ofvan 

 anförda egenskap. Att framställa ett enkelt exempel på en 

 funktion af detta slag är ändamålet med föreliggande uppsats. 



Funktionen i fråga, hvilken jag betecknar med F{x)^ defi- 

 nieras genom följande likhet: 



