132 FREDHOLM, OM EN SPECIELL KLASS AF SINGULÄRA LINIER. 



o 

 hvarest a är en kvantitet, hvars absoluta belopp är mindre än 

 ett. Under denna förutsättning gäller följande sats: 



00 



Sats I. Serien > a^ic^^ och hvar och en af dess deri vätor 



L 



är absolut konvergent för hvarje värde på x, som uppfyller vil- 

 koret 



|^|<1, 

 men är divergent om 



Den n:te derivatan af f\,v) är nämligen 



Z 



F(%'c) = > v\i^ — 1) . . . (v- — n + l) a^A'^'-« , 

 där åt v gifves alla positiva heltalsvärden, som uppfylla vilkoret 



Sätter jag nu \a\ = £ och \x\ = 1 så är 



N L2(-,,2 _ 1) . . . („2 _ ,j + l)a^^'"'-^ < 



< \ v\i^- — 1) . . . (^2 — n + l)t" . 



Men summan till höger har såsom bekant ett ändligt värde, då 

 £ < 1. Således är satsens första del bevisad. 



Riktigheten af den andra delen af satsen inses däraf, att 

 man alltid kan välja v så stort att, om \x\ > 1, 



a'' .t-'' > m, 

 huru stort talet m än på förhand uppgifvits. 



Följdsats. Af den absoluta konvergensen hos de serier, som 

 framställa F'-^^^.v) följer att, om jag sätter x = é^ och med t 

 betecknar en reel variabel, F{é^) i afseende på t har derivator 

 af alla ordningar. 



Sats II. Funktionen F{x) kan ej analytiskt fortsättas utom 

 den cirkel, hvars medelpunkt är noll och radie enheten. 



