ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1890, N:0 3. 133 



Beviset härför stöder sig på en af professor KOWALEVSKY ^) 

 bevisad sats, hvilken lyder på följande sätt. 

 Differentialekvationen 



dx dy- 

 är gifven. Om (p^t{yjb) är en potensserie af ?/ — b, så satisfieras 

 den gifna differentialekvationen forraelt af serien 



00 



d'^'fPoiyß) {^ — ciY 



v = — 



och denna öfvergår för w = a i (pQ{ylb). För seriens konvergens 

 är det ett nödvändigt vilkor, att (foiy/b) är en ständigt kon- 

 vergerande potensserie. 



Det är nu lätt att erhålla beviset för sats II. 



Inför nämligen i stället för a och a; variablerna v och t 

 genom relationerna 



a = e" , X ^^ é . 

 Härigenom öfvergår F{x) i en funktion af f, som jag betecknar 

 med (f(i). 



För att bevisa det F{x) ej kan analytiskt fortsättas utan- 

 för enhetscirkeln, är det tillräckligt, att ^^{t) ej kan fortsättas 

 öfver den imaginära axeln. 



Om ej den imaginära axeln är en väsentligt singulär linie 

 för fp(<), så kan jag välja ett ställe ?! = i^, på denna linie, hvilket 

 är sådant, att (f,{i) kan utvecklas i potensserie i omgifningen af 

 tf^\ således , 



^(0 = *W + (m^T^ + 



Men nu finner man lätt, att (^(<) satisfierar den ofvan anförda 

 differentialekvationen 



Alltså kan jag sätta 



') Bobchardt's Journal, Bd. 80. 



Öfvers. af K. Vet.-Akad. Förh. 1890. Arg. 47. N:o 3. 



