135 



(ifversigt af Kongl. Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar, 1890. N:o 3. 



Stockholm. 



Meddelanden frän Stockholms Högskola. N:o 102. 



Analytisk härledning af eqvationerna för de ytor och 

 linier, som äro invarianta för den PoiNCARE'ska gene- 

 raliserade Substitutionen samt några geometriska egen- 

 skaper hos sådana invarianta ytor och linier. 



Af Frans de Brun. 



[Meddeladt den 12 Mars 1890 genom G. Mittag-Leffler.] 



Inledning. 



Som bekant afbildar 



, az + ß 



~ yz + ö 

 en ch'kel i ^/;-planet pä en cirkel i samma plan. Med den gene- 

 raliserade lineära Substitutionen förstår Poincaré den Substitution, 

 som afbildar en sfär med den förra cirkeln till storcirkel på en 

 sfär, som har den andra cirkeln till storcirkel. 



Den generaliserade Substitutionen säges vara loxodromisk, 

 elliptisk, liyperbolisk eller parabolisk, allteftersom den lineära 



Substitutionen 



az + ß 



z = 



yz + ö 



är loxodromisk, elliptisk, hyperbolisk eller parabolisk. 



Vidare säges den generaliserade Substitutionen vara hel eller 

 bruten, allteftersom den lineära Substitution, hvaraf den bildas, 

 är hel eller bruten. 



Låt "Q vara en viss punkts höjd öfver ^r;-planet; låt den 

 uti ^/^-planet projicierade punkten bestämmas genom komplexen 

 z = '^ -{■ irj. Med z^^ betecknas den konjugerade till z. Genom- 

 PoiNCARÉS generaliserade Substitution transformeras punkten 



