136 DE BUUN, INV AMANTA YTOR OCH LINIER. 



(^, z) i en annan punkt, hvars koordinater jag betecknar med 

 t' och g'. Med z'^ menar jag den konjugerade till z . 



En punkt i rymden kan ock bestämmas af sitt absoluta, 

 afstånd ^; från origo och genom läget af den i ^?;-planet pro- 

 jicierade punkten, hvilket uttryckes genom komplexen z ^ S; + irj. 

 Genom den generaliserade Substitutionen transformeras punkten 

 ((;, z) i en annan punkt, hvars koordinater jag kallar (/ och z'. 

 För att punkten skall blifva entydigt definierad, gör jag den 

 bestämmelsen, att q skall anses positiv, om punkten (q, z) ligger 

 ofvanför §/j-planet, men negativ, om den ligger under detta plan. 



Låt «Q, /?(,, j^o, ^n vara de konjugerade till a, ß, /, d. 



Den cirkel, som till eqvation har 



Az'z', + Bz' + B^z'^ + C = O, A. 



der A och C äro reela, B och Bf^ konjugeradt komplexa, öfver- 

 går genom den lineära Substitutionen 



az + ß 



■2 = s 



yz + o 



uti cirkeln 



{Aaa^ + Bay^, + B^a^y + Cyy^)zz^ + 



+ {Aaß^ + Bad^ + B^ß^y + Cyö^z) + ^ 



+ {A^ß + B^a^d + Bßy^ + Cy^ö)z^ + 



+ {Aßß^ + Bßö^ + B,ß^d 4- Cåd^) = O . 



Eqv. för den sfär, som har A. till storcirkel, erhålles om z'z'^ 

 utbytes mot ^Z^. Den sfärens eqv. blir tydligen 



A^r- + Bz' + B,z'^ + C=0. A* 



På samma sätt erhålles eqv. för den sfär, som har B. till stor- 

 cirkel, genom att utbyta zz^ mot q-. Den sfärens eqv. blir 

 (Aaa^, + Bay^ + B^a^y + Cyyj(,'' + 

 (A aß, + Baå„ + B,ß,y + Cyå,)z + ^^ 



+ (Aa,,ß + B^a^ö + Bßy, + Cy,,å)z,, + 

 + (Aßß, + Bßd, + B,ß,d + Cdd,) = O . 

 A, B och C äro fullkomligt arbiträra i A* och B*. Genom 

 att jemföra koefficienterna för desamma erhålles det analytiska 

 sammanhanget vid den generaliserade Substitutionen uttryckt genom 



