138 DE BRUN, INVARIANTA YTOR OCH LINIER. 



Slutligen angifver han ock invarianterna för den grupp af 

 lineära loxodromiska substitutioner, som har ^, och To till dubbel- 

 punkter samt ett fixt värde på 



Log M' 

 då fl och M definieras genom 



yL, + ^ 

 Sedan framställer han invarianta ytor och linier för de grupper 

 af generaliserade substitutioner, hvilkas lineära substitutioner 

 hafva ofvan angifna egenskaper. 



PoiNCARÉ, som på rent geometrisk väg erhåller sina in- 

 varianter, har endast framställt några få dylika. Hvad särskildt 

 den loxodromiska Substitutionen angår, angifver Poincaré för 

 densamma ingen enda invariant yta. 



I följande afhandling har jag, utgående från substitutions- 

 formlerna (1) här ofvan, på analytisk väg framstält ytor och 

 linier, som äro invarianta för den grupp af generaliserade substi- 

 tutioner, hvilka hafva dubbelpunkterna 



(C = 0; z = :,) 

 {(:=0;z = Q. 



För den loxodromiska Substitutionen gör jag icke ännu något 



antagande om, huruvida i^^ — ^, skall vara fixt. 

 ^ ' Log M 



Detsamma gäller om den paraboliska Substitutionen med af- 



seende på uttrycket 



7 «o + «^0 



a + d j/„ ' 

 Erhåller jag vid den loxodromiska (1. paraboliska) Substitutionen 



invarianta ytor eller linier, då v — uill- ——v.'— ^1 är arbi- 



•' ' Log M\a + d y„ / 



trärt, kallar jag dem allmänt invarianta ytor eller linier; i mot- 

 satt fall kallar jag dem specielt invarianta ytor eller linier. 



') Här och öfverallt i det följande inermr jng med Log den reela naturliga loga- 

 ritmen. 



