146 DE BRUN, INV AMANTA YTOR OCH LINIER. 



i förra fallet blir invarianten den loxodromiska linie, som är in- 

 variant för den grupp af lineära loxodromiska substitutioner, som har 



dubbelpunkterna L och T, samt fixt värde på =^ — t-j', i senare fallet 

 ^ -^ -- ^ Log iW 



•erhålles PoiNCARÉs invarianta cirkel i), hvilken redan är funnen 



å sidan 142. 



Dessa invarianta linier, som utgöra skärningslinierna mellan 



(44) och (26), kallar jag i det följande duhhelkrökta loxodromer 



med polerna u och t» och parametern =-^ . 



^ -1 -^ ^ Log M 



B. Den g-eneraliserade Substitutionen är elliptisk. 



Vid den elliptiska Substitutionen är 



M=l /< 4= O . 



I detta fall erhållas till invarianta ytor fjerdegradsytorna (24). 

 Ytorna (26) och (27) reduceras till två andra grupper af fjerde- 

 gradsytor, hvilkas eqvationer äro 



^2 _ J I 

 — — /o -I 



S 



Oenom en enkel koordinattransformation öfvergår 



uti 



QI = ^2« • 



Ytorna (28) reduceras till sfärer, som till storcirklar hafva 

 de cirklar uti ^7j-planet, hvilka liarmoniskt och orthogonalt skära 

 afståndet mellan dubbelpunkterna. Att dessa sfärer äro invari- 

 anta, är förut visadt af PoiNCARÉ i hans ofvannämnda af- 

 handling. 



') Denna linie är invariant för hela den grupp af j^eneruliserade substitutioner, 

 8orn till dnbbelpunkter har K.^ och i^j- 



