ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1890, N:0 3. 147 



De invarianta ytorna (30) och (31) öfvergå i ett system af 

 tvenne lika stora sfärer, livilka på motsatta sidor tangera ^r^- 

 planet uti endera af dubbelpunkterna C^ och ^^. 



Invarianta linier blifva skärningslinierna mellan ytorna (24) 

 och (32). Häri inbegripes det gränsfall, då ytan (24) breder ut 

 sig i ^/;-planet; då utgöras invarianterna af de cirklar i §/y- 

 planet, som harmoniskt och orthogonalt skära afständet mellan 

 Tj och ^2- 



Alla dessa invarianta ytor och linier äro invarianta för den 

 grupp at elliptiska substitutioner, som till dubbelpunkter har 

 tj och u. 



Finnes det några dubbelpunkter utom l^ och 1*2? 



Antag ^ och C positiva. 



Formlerna (2) Inl. gifva i förening med (11) 



yy,C^ + KK, = K,K'^ = K^Kf 



Dessa eqvationer representera tvenne sfärer, som hafva sina 

 medelpunkter i ^/y-planet, och båda gå genom t^ och L^- Skär- 

 ningslinien mellan dem är följaktligen Poincarés invarianta 

 cirkel, hvilken — såsom PoiNCARÉ på annan väg visat — vid 

 den elliptiska Substitutionen blir dubbelcirkel. 



C. Den g-eneraliserade Substitutionen är hyperbolisk. 



Vid den hyperboliska Substitutionen är 

 il//4=l ^« = 0. 



I detta fall erhålles utom fjerdegradsytorna (24) ingen ny in- 

 variant yta. 



Ytorna (26) — (31) reduceras nemligen alla till sfärer, som 

 gå genom C] och L^ och hafva sina medelpunkter i (^/-y-planet. 

 Att dessa sfärer äro invarianta, har Poincaré visat. 



Invarianta linier blifva skärningslinierna mellan de invari- 

 anta ytorna (24) och de sfärer, som gå genom Lj och ^2 och 

 hafva sina medelpunkter i ^j^-planet. 



