170 BEUGER, ANVÄNDNING AF INVARIANTER OCH HALFINVARIANTER ETC. 



Teorem II. Eqvatiouen af andra graden 

 ciqX- + 2aj.c + ^2 = O 

 har invarianten 



j 2 



Vi skola i det följande i allmänliet beteckna invarianter med 

 In,y der n och g äro hela tal, valda så, att n är den eqvations 

 gradtal, till hvilken I„^g är invariant, och g är invariantens 

 gradtal, dä invarianten betraktas som en funktion af koefficien- 

 terna Oq, öj, . . . a„. Likaledes skola vi beteckna halfinvarianter 

 med I'n,g och vid denna beteckning lata talen ;; och (/ ha samma 

 betydelse som vid invarianter. 



För eqvationen af tredje graden 



(14) cif^iv'^ + Sa^o"- + 'Sa^a; + a.^ = O 

 gälla enligt teorem I formlerna 



(15) A^ = a^ß^ Aj = {a^y + a,)/S-, A, = («„y^ + 2a^y + a,)ß, 

 A^ = a(,y^ + Sa-^y- + 3«.,y + a^ 



samt 



(16) i?„ = a^ß^, By = a,ß\ B^ = a^ß, B^ = a^. 

 Af likheterna (15) följer 



(17) A,A._-A\=ß\a,a._-a\), 



och således är det första invariantvilkoret uppfyldt för funk- 

 tionen a„a2 — a\. Denna funktion är, som man lätt finner, blott 

 en halfinvariant, ty det andra invariantvilkoret är icke uppfyldt. 

 Af detta vilkor följer en egenskap hos alla invarianter, af hvil- 

 ken man ofta kan omedelbart sluta, att ett uppgifvet uttryck 

 icke är en invariant. Sätta vi nämligen i det andra invariant- 

 vilkoret /? = 1 , så erhälles likheten 



hvilken således måste vara uppfyld, om uttrycket H{a^^, a^, ... a„) 

 är en invariant. Emedan detta vilkor vid eqvationer af tredje 

 graden icke är uppfyldt för uttrycket o^a^ — a^, så är detta ut- 

 tryck blott en halfinvariant till eqvationen af tredje graden, 

 fastän det är en invariant till eqvationen af andra graden. 



