ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1890, N:0 4. l7l 



Vi ha alltså halfinvarianten 



(18) 7'3_2 = (Y^ao — al. 



Af eqv. (15) och (17) härledas lätt relationerna 



(19) AIa.^ - Al = 3a,ß^y(a,a^ - a^) + ß^{ala.^ - a^) 

 och 



(20) - 3^,(^0^, -Al) = ~ 'Sa,ß^y{a,a^ - a]) 



— Sa^ß^iaQÜ^ — aM , 

 och genom addition af eqv. (19) och (20) finna vi 



(21) aIa^ — SA^A^A,, + 2Al = ß'{ala.^ — Sa^a,«. + 2a^') , 

 hvarmed vi ha funnit en ny halfinvariant 



(22) /'s, 3 = al a.^ — Sa^üy a, + 2a J 

 till eqvationen af tredje graden. 



Af likheterna (17) och (21) följer 



(23) 4{A,A, - A]y + {AlA^ - 3A,A,A, + 2Aiy 



= /9i2|4(a„a2 — a^y + (a^^g — Sa^^a-^^a^ + 2a^) | . 



Genom enkla reduktioner och med iakttagande af relationen 



(24) .4, = a,ß-^ 

 erhålles af eqv. (23) formeln 



(25) AlAl+4A^Al — 6A„A,A,A, + 4AIa^ — 3^;^^ 



= ß^la^a^ + 4a^a,^ — Ga^aiü^a^ + 4:a^a — 3a a } , 

 och på samma gång erhålla vi äfven likheten 



(26) «ojsS + '^%^l — Qa^a-^a^a^ + 4a[a^ — ^'^'\% ) = 4/'^ 2 + -^'3 3 - 

 Af formlerna (16) följer 



(27) B\B\ + 4:B^Bl — 6B^B,B.^B, + 4Bl B.^ — '3B\BI 



= ß^Y'^a'^l + 4a^ag — 6aQa,a2«3 + 4a^a^ — •^'^iSf ' 

 och af eqv. (25) och (27) kunna vi sluta, att uttrycket 



(28) 73^4 = a^ffg +4aQa2 — 6aoaja2^3 + 4aja^ — "^a^c^^ 

 är en invariant till eqv. (14). 



Teorem III. Eqvationen af tredje graden. 

 ttpA'^ + '6a^x- + 3a2;^; + ag = O 



