172 BERGER, ANVÄNDNING AF INVARIANTER OCH HALFINVARIANTER ETC. 



har halfinvarianterna 



T, 2 



-t 3, 2 = ^'o^'2 '■^ 



1 ' 



3 



samt invarianten 



och mellan dessa existerar sambandet 



2 7- ^ T/3 , T72 



a/3,4 = 4/3 2+^3,3- 



För eqvationen af fjärde graden 



(29) apc-P* + 4aj.«3 + Qa^x"^ + 4a3A- + «4 = 

 gälla enligt teorem I formlerna 



(30) A^ = a^ß\ A^ = {a^y + a^)ß\ A^ = {a^y'' + 2a^y + a^)ß'', 



A^ — («(,7^ + ^<^\y' + '^^2/ + «^'a)/^» 

 A^ = fl(,7* + 4aiy2 + Qa^y'^ + åa^y + a^ 

 samt 



(31) Bq = aj\ i?j = 03/^3, ^2 = «2/^^ ^3 = «1/^' ^4 = «o- 

 Af eqv. (30) följer 



(32) A,A, -Al= ß\a,a, - a]) , 



hvarmed vi för eqvationen af fjärde graden hafva erhållit half- 

 invarianten 



(33) Ti,2 = %(^2 — S" 

 Af eqv. (30) och (32 följer 



(34) AlA^ -Al = 3a,ß^a,a, - aj) + .^«(aja^ - a^) 

 och 



(35) - SA,(A,A^ - A\) = - 3ViV0'o«2 - <) 



och genom addition af eqv. (34) och (35) finna vi 



(36) AlA._^ — SA^A.A.^ + 2A\ = ß^{ol% — 'Sa^,a,a, + 2aJ) , 

 hvarmed vi funnit, att eqv. (29) äfven har halfinvarianten 



(37) A, 3 = rtjrtg — '^a^^a^a^ + 2a\. 



Af eqv. (30), (32), (36) härledas följande tre formler 



