174 BERGEE, AXVÄXDNIXG AF INVARIANTER OCH HALFIXVARIANTER ETC. 



Om vi här verkställa reduktioner samt använda eqv. (44), 

 så finna vi 



(50) A^A.-,A^ + 2^1^0.43 — A^.t —å\A^ — Äl 

 = ßHciQÜ.^a^ + la^a^a^ — ■ a^a'^ — a\a^ — a^ , 



hvarjämte vi äfven erhålla relationen 



(51) a^^{a^a.^a^ -I- 'la^a^a^ — a^a^ — ä^a^ — a^ 



4.2 4,4 4,3 4,2 

 Af eqv. (31) följer 



(52) B^B.-,B, + 2B^B.B., - ^^^J - B\B,- BI 



= /^''("o<^'2"4 + 2aic/.,a3 — a^al — ala^ — rt^j , 

 och enligt eqv. (50) och (52) är alltså uttrycket 



(53) Ii.2 = ^'fo^'2^4 + 2a,fl2«3 "ü"3 '^'i"4 ~ '^2 



en invariant till eqv. (29). 



Härmed är följande teorem bevisadt: 



Teorem IV. Eqvationen af fjärde graden 



Ofjcr* + 4cfj.f^ + Qa^x- + A:a.^x + «4 = 

 har haifinvai'ianterna 



-^'4,2 — «0^2 "l' 



7, 2 o , s) 3 



i 4,3 = a^a^ — ia^a^a.^ + la^ , 



samt invarianterna 



h,2 = o^a^ — 4airt3 + Sa^ , 



^4,3 = Oo"2^4 + 2a,a2«3 — <^'oS — ^1^4 — ^2 ' 

 och mellan dessa e.xistera relationerna 



%^4,i ^ -'4,2 • -t 4,4 -'43 -t 4 2 • 



