ÖFVEKSIGT AP K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 18 90, N:0 4. 181 



Af eqv. (87), (90), (95) följer, att qvantiteterna m, , u^, u^ 

 äro de tre rötterna till eqvationen 



(96) 4^3 — 42^^ — 743 = 0. 



Af eqv. (83) och (85) följer nu 



(97) ä; = — — + — {V— /'4,2 — «0^1 + V— -f'4,2 — «o'4 + V — ^'4,2 — «o^a}' 

 hvarmed följande teorem är bevisadt. 



Teorem IX. Eqvationen af fjärde graden 



üf^x* + åa^x^ + Qa.,a;^ + 4a^a; + a^ = O 

 har fyra rötter, hvilka erhållas af formeln 



ä;== 



H {} 7'4,2 CIq^i + v T 4,2 «0% + v A, 2 «0% J ' 



Oj 



Uq «o 



der man har att iakttaga, att it^, ri^, u^ äro rötterna till eqva- 

 tionen af tredje graden 



4^3 — l^^u — 74,3 = O, 



samt att man tilldelar de tre qvadratrötterna sådana värden, 

 som äro förenliga med vilkoret 



V — A, 2 — «o^<i V — 74.2 — «o*<2 V — A, 2 — «0^3 = ^ . 



Om man med 



(98) 



V JU, 2 «0^1 ' V /'é, 2 «o'<2 ' V I' 4, 2 — «0^*3 



förstår tre bestämda qvadratrötter, som uppfylla det nämnda 

 vilkoret, och om eqvationens (82) fyra rötter betecknas med x^ , 



A'l = + —(V /'4,2 öo^«i + V A. 2 «0^2 + V A, 2 «o%) ' 



^2 = — -^ + — IV— /'4,2 — «0^1— V— A,2— «0^*2 — V— A2 — «0%}' 



^3 = — - -\ — I— V — A,2 — «o^<i + V — J'4,2 — s% — V — A,2 — V3}' 



^■4 = — -^ + — ( V A,2 Oo"l ~V ^4,2 V*2 + V— A,2 «o^al- 



