182 BERGER, ANVÄNDNING AF INVARIANTER OCH HALFINVARIANTER ETC. 



§ 4. 

 Eqvatioiiers diskrimiuanter. 



Om man med a;^, a^, x^, ■ . ■ Xn betecknar rötterna till eqva- 

 tionen af ??:te graden 



(99) {n)f^a^x" + (»i)iaj.^«-i + . . . + {ii)n-\an-\x + (?i)„an = O, 

 så är uttrycket 



n i^l — Xn) 



l,fl = 1,2,3,...)! 



en symetrisk rationel hel funktion af eqvationens (99) rötter. 

 Emedan vidare den högsta exponent, hvarmed x^ (eller hvilken 

 annan rot som hälst) är försedd i denna produkt, är lika med 

 2(n — 1), så kan densamma enligt de symetriska funktionernas 

 teori uttryckas i eqvationens (99) koefficienter «(,, «j, . . . a» me- 

 delst en likhet af formen 



(100) n {^x - ^^) = ^"^^"'\;j,;— -^ , 



l,a = \,1,...n « 



X>f. « 



der ^{üf^, ttj^, . . . a„) är en rationel hel homogen funktion af 



aQ,a^,...a„ af gradtalet 2(n — 1). Vi uppställa nu följande 



definition : 



Definition. Med diskriminanten till eqvationen af «:te graden 



(nXa^x'' + {n\aiX''-'^ + . . . + (n)„_ia„_i.r + (w)„a„ = O, 



hvars rötter betecknas med x^ , .Tj, . . . a'«, förstås det af likheten 



Jri(%, a^, . . . un) = «o^"~^^n (''^'^ ^ '*>) 

 X.n = 1,2,.. .11 

 X>ii 



definierade uttrycket z^,((a„ , a, , . . a„), betraktadt som en funk- 

 tion af eqvationens koefficienter a^, a^ , . . . a„. 



Emedan faktorernas antal i den här förekommande pro- 

 dukten är lika med ?/(n — 1), och emedan mot hvarje faktor 

 .ri — Xfi svarar en annan faktor x^j, — xi= — {xx — Xu), så kan 

 den ofvanstående likheten sättas under formen 



