186 BERGER, ANVÄNDNING AF INVARIANTER OCH HALFINVARIANTER ETC. 



(129) 4m3 _/4 2ii_43 = O 



tre rötter. Af eqv. (126), (127), (128) erhålles 



( 1 30) (/Cj — A'2 + .«3 — X^f — {X-^ — X^ X^ + X^f = (^2 — M3) , 



(131) (a'j — ct'2 — X^-\-X^)- — (a'j+^2 — ^3 — ''^4)"= (^3 ^*l)r 



1 /? 



(132) {x-^ + Xc^ — x^ — A'4)- — {x-^ — x^ + x^ — x^- = (itj — «2) 



«Q 



eller 



4 



(133) (a?i — ^2) {^z — '^4) = — -("•. — '^3) ' 



"o 



4 



(134) (a'i — ^3) {x^ — ^-2) = — -(«3 — ?ii) , 



"o 



4 



(135) (/??j — .1'^) {x.y — ^3) ^ (mj — 1^2) . 



Om vi subtrahera dessa tre likheter från hvarandra två och 

 två samt iakttaga, att enligt eqv. (129) summan af de tre qvan- 

 titeterna u^^u^^u^ är noll, samt att 



alldenstund x^, x^, x^, x^ äro eqvationens (124) rötter, så erhållas 

 följande tre formler 



(137) 



(138) u^ 



(139) Z.3 _ 2 



1 ~ 2 4 



~ t 4 ^" 



Om vi på formeln (125) använda eqv. (133), (134), (135), 

 så erhålles 



(140) ./^ = 4096(?«, — ^2)^(^1 — u^)-{u^ — «3)2. 



Emedan ?t, , u^, u^ äro eqvationens (129) tre rötter, så är 



(141) M, + u^ + M3 = O , 



(142) u^u^ + u^u^ + ii^u^ = j- , 



