226 VON KOCH, OM ANVÄNDNINGEN AF OÄNDLIGA DETERMINANTER. 



emot i det allmänna fallet söker bestämma ifrågavarande koeffi- 

 cienter, finner man, att de måste satisfiera ett oändligt lineärt 

 ekvationssystem. Ett sådant system har behandlats för första 

 gången af G. W. Hill '), som vid integration af en viss linear 

 differentialekvation af andra ordningen infört och studerat en för 

 det motsvarande oändliga ekvationssystemet karakteristisk deter- 

 minent n {c}- För konvergensen äfvensom för tillvaron af öfriga 

 af Hill angifna egenskaper hos D (c) har Poincaré-), med till- 

 hjelp af tvänne vigtiga satser om konvergensen hos oändliga deter- 

 minanter, lemnat stränga och fullt tillfredsställande bevis. Om 

 man begagnar sig af definitionen : 



»En determinant ^„ af ordningen n är konvergent om, sedan 

 man faststält ett godtyckligt positivt tal 3, det alltid är möjligt 

 att finna ett positivt tal n' sådant att olikheten 



för godtyckliga positiva heltalsvärden på j^ egei' i'um så snart 

 n > ?/,» kunna Poincarés satser uttalas på följande sätt: 



»För att en determinant z/^, i hvilken de element som till- 

 höra principaldiagonalen äro ettor, skall vara konvergent, är det 

 tillräckligt att summan af de element, som icke tillhöra princi- 

 paldiagonalen, är absolut konvergent», och 



»Om denna summa är absolut konvergent, förblir zi„ kon- 

 vergent i fall man ersätter elementen i en hvilken som helst af 

 dess rader eller kolonner med storheter, hvilka till sitt absoluta 

 belopp ej öfverstiga en viss ändlig gräns». 



På uppmaning af Prof. Mittag-Leffler har jag stält 

 mig uppgiften att undersöka, huruvida icke det allmänna fallet. 



') »On the part of the motiou of the lunar perigee which is a function of 

 the mean motions of the sun and moon*, Cambridge, Wilson 1877; Acta 

 mathematica. Bd. 8. 



^) PoiNCAEÉ: »Sur les déterminants d'ordre infini», Bulletin de la Société 

 mathématique de France, T. 14. p. 77; se för öfript de litteraturanvisningar, 

 som finnas bifogade förfis uppsats: >'Oni upplösningen af ett system lineära 

 likheter mellan ett oandligt antal obekanta», Öfvers. af K. Vet.-Ak. förh. 



1890. N:o ;i, s. lOO. 



