230 VON KOCH, OM ANVÄNDNINGEN AF OÄNDLIGA DETERMINANTEU. 



Således konvergerar serien 5 och häraf följer att den oäiidliga 

 determinanten i2(^) är konvergent. 



Betrakta nu q = u + iv såsom en variabel punkt i planet; 

 låt B vara ett ändligt område sådant, att inom eller på grän- 

 sen till detsamma ej finnas några nollställen till funktionerna 

 qi(^Q + ni). Det är då lätt att se, att serierna a,, äro likformigt 

 konvergenta inom området B. Således är serien aS och således 



äfven produkten 



/7„,(1 + 2';. 1 1/^„j((,) i) 



likformigt konvergent inom B; denna produkt låter derför ut- 

 veckla sig i en viss likformigt konvergerande serie 2. Således 



kan produkten 



/2„,(1 + 2'xiij„a{i>)) 



skrifvas under formen af en likformigt konvergerande serie 2^ 

 i hvilken hvarje term till sitt absoluta belopp är mindre eller 

 möjligen lika motsvarande term i 2. Om vi nu i serien 2^ 

 ersätta vissa termer med noll och multiplicera de öfriga, allt 

 efter de olika fall som kunna inträifa, med + 1 eller — 1 , er- 

 hålles en viss serie 2^^ som är lika med utvecklingen af deter- 

 minanten Q{q). Häraf och af en bekant egenskap hos likformigt 

 konvergenta serier följer, att i omgifningen af en godtycklig 

 punkt j7(, inom B funktionen i2((j) kan framställas under formen 



Definiera nu tvänne områden C och C på följande sätt. Drag 

 parallelt med den reela axeln i i«u-planet tvänne räta linier 

 K och K' så, att de innesluta samtliga nollställen till funktio- 

 nerna (f(Q + jn). Drag sedan godtyckligt tvänne räta linier L 

 och L' parallela med den imaginära axeln. Det område som 

 begränsas af linierna L, L' och K må betecknas med C och det 

 som begränsas af L, L' och K' med C. Man bevisar då lätt, 

 att serierna Or (r — 2, 3 ... . n) äro likformigt konvergenta såvä^ 

 inom C som inom C; häraf följer att man erhåller lim Q{q) om 



r= +00 



man i hvarje term af li'o sätter v = ± co; men 2., har formen 

 .S'n = 1 + termer som fcirsvinna för u = + oo , 



