234 VON KOCH, OBI ANVÄNDNINGEN AF OÄNDLIGA DETERMINANTER. 



förändring, men dess form är nu sådan, att elementen i den 

 m:te raden äro 



• • • T in, — vi^ 1 y^m, — m + 1"^" ) • • • Ymo^ 5 • • • j yj'm,m—l^ j 1, . . . 



under det att i den p:te samtliga element äro = w^+p; deter- 

 minanten y{w, q) skrifven under denna form må betecknas med 

 ^{x^q). För att öfvertyga sig om konvergensen hos y{x,Q) är 

 det tillräckligt att observera att olikheten (6) kan skrifvas 



|(^ + my 



IT . V\/ 1 I (p(^Qj^11l^ I -\ / 



och att serierna 



1 



cp{Q + m) 



\Hn{v).t 



+ CO 

 j/= CO 



|/^,(.y| (T = 2,3, 



äro konvergenta inom cirkelringen (RE'); ty däraf följer, att 

 äfven serien 



S = :^,„rA|«/y„,;.(()>'"-^| 



är konvergent inom (JRR') och således, på grund af de båda 

 Poincaréska konvergenskriterien, att determinanten y{A',Q) kon- 

 vergerar inom samma område. Följaktligen är serien 'i/{,t, q) kon- 

 vergent och framställer inom området (RR') en integral till 

 differentialekvationen (17). För att densamma skall vara en 

 integral till den gifna differentialekvationen (1) är det nödvändigt 

 och tillräckligt att q satisfierar likheten 



(18) q:{Q + p)Q(Q) = 0. 



Antag nu att ingen af de genom (9) definierade storheterna 

 Mx(l = 1,2,... n) är noll. 1 detta fall har likheten (18) samma 

 rötter som likheten 



(19) ß((/) = 0; 



om (>' är en rot till (19) är följaktligen _?/(.?;, q') en integral till 

 den gifna differentialekvationen. 



Är (>' en enkelrot till likheten (19), kunna ej samtliga funk- 

 tionerna 'f,n).(Q) försvinna för q = (>'; ty på grund af de egen- 

 skaper hos produkten 



