237 



Öfversigt af Kongl. Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar 1890. N:o 5. 



Stockholm. 



Meddelanden från Stockholms Högskola. N:o 106. 



Om en generalisering af de KLEiN'ska funktionerna af 

 tredje familjen. 



Af Gustav Cassel. 



[Meddeladt den 14 Maj 1890 genom G. Mtttag-Lefflek.] 



Jag har redan för en tid sedan haft tillfälle meddela en 

 undersökning öfver problemet att konformt afbilda en af oändligt 

 många cirklar begränsad plan figur på planet^). Detta problem 

 leder, såsom jag visat, till en klass af entydiga analytiska funk- 

 tioner, som äro oförändrade för oändligt många af hvarandra 

 oberoende linjära substitutioner. 



Allt sedan jag funnit detta speciela exempel, var det min 

 sträfvan att i ett mera allmänt fall studera substitutionsgrupper, 

 som härledas af ett system af oändligt många fundamental- 

 substitutioner, samt att bilda de motsvarande invarianta funk- 

 tionerna. Bland de olika familjer, hvari PoiNCARÉ indelar linjära 

 substitutionsgrupper, torde de KLEiN'ska grupperna af tredje 

 familjen ur flera synpunkter kunna anses såsom den enklaste-). 

 Bortsedt från vissa väl kända specialfall, såsom de dubbelperio- 

 diska funktionerna och modulfunktionen, äro också de mot denna 

 familj svarande invarianta funktionerna bäst kända, detta tack 

 vare Schottkys utmärkta afhandling: »Ueber eine specielle 

 Function, welche bei einer bestimmten linearen Transformation 

 ihres Arguments unverändert bleibt»^). 



') Bihang tili K. V. A:s Handlingar 1890. 



^) Jfr. PoiNCARÉ: Memoire sur les groupes kleinéens § 6. Acta Mathematica. 



T. 3. 

 ^) Journal für die Mathematik, T. 101, p. 237. Den klass af grupper, som 



ScHOTTKY behandlar, är dock endast ett specielt fall af den tredje familjen- 



