ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1890, N:0 5. 239 



Medelpunkterna till cirklarne C bilda en punktmängd P. 

 Dess första deriverade punktmängd P' ligger helt och hållet utom 

 cirklarne d. Följaktligen har P' ingen punkt gemensam med 

 P. Däremot måste punktraängderna P"P"' . . . tillhöra P. 



På beskaffenheten af punktmängden P' beror väsentligen 

 hela gruppens karaktär, och naturligtvis också de funktionsteore- 

 tiska ägenskaperna hos de funktioner, som bli oförändrade för 

 substitutioner tillhörande gruppen.' Ar t. ex. P en öfver alt 

 tät punktmängd, så kan hon möjligtvis innesluta ett visst om- 

 råde af planet. I sådant fall skola vi se, att våra funktioner 

 erhålla ett begränsadt existensområde. 



Det område, som uppkommer därigenom, att vi från planet 

 utesluta alla cirklarne Ci samt punktmängden P', kalla vi funda- 

 mentalpolygon och beteckna detsamma med Rq. Hvad själfva 

 begränsningen angår, göra vi följande öfverenskommelse: Vitänka 

 oss hvarje cirkel d tillordnad en cirkel d'. Af dessa båda 

 cirkelperiferier, som sålunda bilda konjugerade sidor i vår funda- 

 mentalpolygon R^^ anse vi den ena, likgiltigt hvilken, tillhöra 

 i^Q, den andra icke. 



Låtom oss nu införa tvänne oändliga rader af linjära funktioner: 

 /,(.) .... fiz) .... 

 fr{z)....f,{z).... 

 Dessa definieras på följande sätt: Substitutionen f^{z) öfverför 

 det yttre af cirkeln Ci- i det inre af cirkeln C^; Substitutionen 

 fv{z) öfverför det yttre af cirkeln C, Tdet inre af cirkeln Cv. 

 Man ser häraf, att funktionerna /,; och /j- äro inversa, så att om 



sa är samtidigt 



^ = fii^') ■ 



Koefficientei'na i dessa linjära substitutioner äro i allmänhet 

 komplexa tal, som genom de nu uppstälda fordringarne bestämmas 

 så när som pä tre reela konstanter, hvilka förbli godtyckliga. 



') Den brist, som onekligen ligger i att ej äga ett särskildt namn för sådana 

 funktioner, har nyligen blifvit fyld, i det Klein infört uttrycket automorfa 

 funktioner. Göttinger Nachrichten Mars 1890. Detta har emellertid icke 

 kommit till min kännedom förr än detta arbete var färdigt. 

 Öfoers. af K. Vet.-Akad. Förh. 1890. Arg. 47. N:o 5. 2 



