240 CASSEL, GENERALISERING AF DE KLEINSKA FUNKTIONERNA. 



Våra substitutioner äro antingen liyperboliska eller loxo- 

 dromiska och ha en dubbelpunkt inom hvardera cirkeln. 



Om /;.(-) är en af dessa substitutioner, så öfvergår genom 

 denna Substitution stället z i ett därmed kongruent ställe, som 

 vi vilja beteckna med zx. Vidare beteckna vi fu{zx) med fiii{z) 

 eller zx^^ fr{^l/n) ii^ed flur{z) eller ziar o. s. v. Genom Substitu- 

 tionen 



öfvergår fundamentalpolygonen i?^ i ett område Riuv..., som är 

 en konform afbildning af I\'^. 



En index, som är sammansatt af 7i-stycken element X/kv . . ., 

 säga vi vara af n"-ordningen. Det är klart, att ett ställe, som 

 tillhör ett område -Ä;.,«/..., hvars index är af rz"-ordningen, ligger 

 innanför ?2-stycken cirklar, af hvilka den närmast omslutande 

 kan betecknas med {Xj-cv . . .) och är en konform afbildning af 

 cirkeln C;.. Är co det sista elementet i vår index, så är Cco den 

 af fundamentalcirklarne, innanför hvilken polygonen i? A^tr...w be- 

 finner sig. 



Jag inför nu i hufvudsaklig öfverensstämmelse med PoiN- 

 CARÉ^) och andra författare på detta område följande definition: 

 »En grupp af linjära substitutioner säges vara oegentligt diskon- 

 tinuerlig i omgifningen af ett ställe A, om man efter att hafva 

 valt ett område a godtyckligt litet inneslutande stället A, och 

 inom a valt ett värde z, alltid inom området a kan finna ett 

 med z kongruent värde z'. I motsatt fall är gruppen egentligt 

 diskontinuerlig i omgifningen af stället A. 



Jag påstår, att den substitutionsgrupp G, som innehåller alla 

 tänkbara kombinationer af våra fundamentalsubstitutioner /;/,', är 

 egentligt diskontinuerlig i hela planet, med undantag för vissa 

 singulära ställen. 



Genom Substitutionen /„ öfvergår fundamentalpolygonen R^^ 

 i en polygen 74, som ligger helt och hållet inom cirkeln Ca- 

 Orn begränsningen af den till Cu konjugerade cirkeln C«- tillhör 

 fundamentalpolygonen, så hör begränsningen af C« icke till denna 



') »Memoire hui- Ich sroiqjcs klcinuens* Acta .Muthoiriiiticn, T. 3, ]). 57. 



