252 CASSEL, GENERALISERING- AF DE KLEINSKA FUNKTIONERNA. 



Dessutom ha vi ännu ett slag oväsentligt singulära ställen, 

 nämligen : 



2:o ställena -' , d. v. s. alla med stället co kon- 



gruenta ställen. 

 Inom hvarje polygen R, tinnes ett sådant ställe och detta 

 är för Q{z) i allmänhet ett oändlighetsställe af ordningen 2m. 



Om vi således som vanligt räkna ett oändlighetsställe af 

 n^^ ordningen som n skilda oändlighetsställen, så har funktionen 

 6{z) A + 2m inkongruenta oändlighetsställen. 



Slutligen har funktionen Q{z) väsentligt singulära ställen af 

 tvänne olika slag. Dessa äro: 



l:o ställen tillhörande punktmängden P', jämte alla 

 därmed kongruenta ställen; d. v. s. alla singulära ställen 

 af första slaget för gruppen G. 



2:o ställen, som för gruppen G äro singulära ställen 

 af andra slaget. 

 I det fall, att man har ett ändligt antal fundamentalcirklar, 

 är denna senare punktmängd aldrig öfver alt tät utefter någon 

 viss linie. Singulariteter af det förra slaget existera öfverhufvud 

 taget icke. Följaktligen måste ©-funktionerna i detta fall exi- 

 stera i hela planet, med undantag för vissa singulära ställen. 



I vårt fall är detta icke alltid händelsen. Det kan ju näm- 

 ligen inträffa, att de väsentligt singulära ställena af första slaget 

 bilda en punktmängd, som på en viss sluten linie är öfver alt 

 tät. I detta fall existera våra 0-funktioner endera inom det af 

 den slutna linien begränsade området eller också utanför detta 

 område, men låta i hvarje fall ej fortsätta sig öfver den slutna 

 linien. Man kan naturligtvis på detta sätt erhålla existensom- 

 råden af en synnerligen komplicerad natur. 



Man inser lätt, att &{z) satisfierar följande funktionallikhet 



ö(7fT^)==®(^)(>'- + ^^)''" (1) 



Jag vill nu bevisa, att funktionen Q{z) har oändligt många 

 inkonyruenta nollställen. 



