ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1890, N:0 5. 253 



Låtom OSS för detta ändamål betrakta en godtycklig, med 

 fundamentalpolygonen R^, kongruent polygen Ra. Vi antaga, att 

 inom denna polygon finnas p nollställen och q oändlighetsställen. 

 För enkelhetens skull kunna vi dessutom antaga, att inga noll- 

 eller oändlighets-ställen ligga på begränsningen af ß„. Talet q 

 är i hvarje fall ändligt och fullt bestäradt, då vi ju ha 



(^ = A + 2ni . 



Vi betrakta först det fall, att fundamentalpolygonen R^ och så- 

 ledes också polygonen R^ endast begränsas af ett ändligt antal 

 cirklar, låt oss säga 2n. Vi föresätta oss att beräkna integralen 



^^-J^W' ^'^ 



tagen längs efter begränsningen af i?« i positiv led (^). Det 

 är tydligt, att den reela delen af denna integral är = O, och att 

 den imaginära delen är 



27Tz(p — q) . 



Låt nu Cy och C,- vara tvänne konjugerade cirklar tillhö- 

 rande begränsningen af R^. Vi anta först, att dessa cirklar 

 ligga helt och hållet utanför hvarandra. Den del af integralen 

 I<r^, som kommer på dessa cirklar, är 



r Q'{z)dz r &{z)dz ^ r Q'{z)dz r &{z)dz 

 '' j ^ e{z) "^1 e{z) ~l (ä{z) ] Q(z) ■ 



Pilarne beteckna här som i det följande den riktning, i hvilken 

 vi tänka oss cirklarne genomlupna. 



Låt nu {z-, fi{z) vara den till gruppen G hörande Substitu- 

 tion, som öfverför cirkeln Cy i C,/. Då z genomlöper cirkeln 

 Cy i positiv led (-h), så genomlöper fi{z) cirkeln 6V' i negativ 

 led(r>). Vi ha (se (1)) 



och således: 



0(/,(.)) = e(.) (if)) 



Iog0(/,(^)) = log0(^)-mlog^, 



