ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1890, N:0 5. 257 



tydligt, att hvaije sådan funktion (f{z) af gradtalet noll satis- 

 lierar funktional likheten 



9 





H = »w 



Dessa funktioner cfiz) kunna betraktas såsom en generali- 

 sering af de KLElN'ska funktionerna af tredje familjen. Låtom 

 oss i största korthet ange deras väsentliga funktionsteoretiska 

 ägenskaper. 



Hvarje funktion if{z) har karaktären af en rationel funk- 

 tion öfveralt inom en af oändligt många från hvarandra full- 

 ständigt skilda cirklar och af en viss punktmängd P' begränsad 

 polygon R^. Inom denna polygon har en funktion (f{z) i all- 

 mänhet oändligt många oändlighetsställen och oändligt många 

 nollställen. Då q{z) är af rationel karaktär inom i?„, kunna 

 dessa noll- och oändlighetsställen icke skocka sig oändligt tätt i 

 omgithingen af andra ställen än sädana, som tillhöra begräns- 

 ningen utan att tillhöra R^ eller någon annan till R^ närgrän- 

 sande polygon. (I alla med R^ kongruenta polygoner Ri återtar 

 nämligen (fiz) samma värden som i motsvarande ställen inom 

 Rq och är således äfven här af rationel karaktär). Dessa ställen 

 tillhöra allesamman punktmängden P\ d. v. s. äro för gruppen 

 G singulära ställen af första slaget. De äro också väsentligt 

 singulära ställen för våra 0-funktioner. 



Man inser häraf, att funktionerna (f,{z) icke ha några andra 

 väsentligt singulära ställen än sådana, som för gruppen G äro 

 singulära. 



Dessutom följer af funktionallikheten 



att alla för gruppen G singulära ställen också äro väsentligt 

 singulära för funktionerna ^(2). 



Härmed äro således dessa funktioners singulariteter fullkom- 

 ligt bestämda. Hvad som ofvan sagts om existensområdet för ©- 

 funktionerna äger naturligtvis sin tillämpning på funktionerna (f{z). 



