258 CASSEL, GENERALISERING AF DE KLEINSKA FUNKTIONERNA. 



Hvarje funktion (f)(z) med nu nämda ägenskaper säger jag 

 vara en invariant funktion. 



Inom ett med fundamentalpolygonen kongruent område jRj 

 antar en sådan invariant funktion värdena noll och oändligheten 

 båda i allmänhet oändligt många gånger. Således består i all- 

 mänhet icke mellan tvänne till samma grupp hörande invariauta 

 funktioner någon algebraisk likhet, väl däremot en transscendent. 



I det fall, att man endast har ett ändligt antal fundamen- 

 talcirklar, antar en invariant funktion hvarje värde ett visst 

 ändligt antal gånger inom en viss polygen. Detta tal vill jag 

 kalla den invarianta funktionens grad. Det finnes då alltid ett 

 visst af n, antalet cirkelpar, beroende tal (a sådant, att det icke 

 existerar en invariant funktion med ett godtyckligt oändlighets- 

 ställe, som är af lägre grad än fj. Däremot existera invarianta 

 funktioner af lägre grad än jU, hvilkas oändlighetsställen satis- 

 fiera vissa transscendenta likheter. 



Om man t. ex. kan dela fundamentalpolygonen i tvänne 

 med afseende på en viss cirkel symetriska delar, så att en cirkel 

 Cr, som faller innanför symmetricirkeln, alltid är konjugerad med 

 en cirkel €,,■■, som faller utanför, så är det ju alltid, enligt en 

 bekant sats af Schwarz^), möjligt att finna en entydig funk- 

 tion, som förmedlar den konforma afbildningen af den ena delen 

 af fundamentalpolygonen på ett plan-). Denna funktion, som 

 tydligen är oförändrad för alla till vår grupp hörande substitu- 

 tioner, antar hvarje värde två och endast två gånger inom funda- 

 mentalpolygonen. Den är emellertid bestämd så till vida, att 

 den icke kan äga ett godtyckligt oändlighetsställe. 



Då fundamentalpolygonen har ett oändligt antal sidor, fordras 

 tydligen för att en invariant funktion af ändligt gradtal skall 

 existera, att denna funktions oändlighetsställen uppfylla en oändlig 



') Jfr. Schwarz: Über die Jntegration der partiellen Differentialgleichung 



— - + —0. Monatsbericht der K. A. der Wissenschaften zu lierlin. 



Octobcr 1870. 

 ^) Jfr. Schottky: Ueher die conforme Abbildung mehrfach zusammenhängender 

 ebener Flächen. Journal für die Mathematik. T. 83. 



