ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1890, N:0 5. 259 



mängd transscendenta likheter. Det är således icke a priori 

 klart, att det verkligen existerar en dylik funktion. För att det 

 icke må råda något tvifvel om denna sak, skall jag i ett specielt 

 fåll uppvisa existensen af en invariant funktion af ändligt gradtal. 

 Låtom oss anta, att alla cirklarne C,, ha sina medelpunkter 

 på den reela axeln, och låtom oss dessutom anta, att det är 

 möjligt att i nyss antydda mening finna en symetricirkel, som 

 har sin medelpunkt på den reela axeln. Den del af planet, som 

 återstår, då man utesluter symetricirkeln och de utanför denna 

 liggande oändligt många cirklarne C,,, kan under vissa inskränk- 

 ningar, enligt hvad jag i min uppsats öfver Webers afhand- 

 ling: »Ein Beitrag zu PoiNCARE's Theorie der Fuchsschen Func- 

 tionen»') visat, konformt afbildas på ett plan. Den entydiga 

 analytiska funktion, som förmedlar denna konforma afbildning, 

 är tydligen invariant vid alla till gruppen G hörande linjära 

 Substitution er. Inom hvar och en af fundamentalpolygonens båda 

 delar antar den hvarje värde en och endast en gång. Den antar 

 således hvarje värde två och endast två gånger inom den ur- 

 sprungliga fundamentalpolygonen. Naturligtvis äger denna funk- 

 tion icke något godtyckligt oändlighetsställe. 



4. 

 En funktion Q{z) är definierad genom likheten 



«w = f«(7l^|) (-/.-- + *) 



2»i 



där H betyder en godtycklig rationel funktion. Sätta vi 



så erhålla vi en funktion ©(«), som jag vill beteckna med 



0,(.~)=©(Ai,z). 

 Denna funktion äger en rad inkongruenta nollställen 



') Bihano- till K. V. A:a Handlins^ar 1890. 



