262 CASSEL, GENERALISERING AF DE KLEINSKA FUNKTIONERNA. 



z, till hvilket jag kan komma på en väg, som endast innehåller 

 ställen, som äro regulära för funktionerna f{z) och (f2{^)- ^^ 

 nu funktionerna cp^iz) och cp^i^) äro af rationel karaktär öfveralt 

 inom fundamentalpolygonen, så måste relationen (1) bestå för 

 hvarje 2:-värde inom fundamentalpolygonen, för hvilket utveck- 

 lingarne af (pi{z) och (fj^z) börja med en term af första dimen- 

 sionen. 



Mot värdet 

 svara värdena 



Ti 



^ = ^-0.- =/(^o)----: 

 och man har, emedan utvecklingarne i omgifningen af stället 

 z = Iq börja med första potensen: 



hvilket strider mot hvad vi om funktionerna cp^ och cf^ ha oss 

 bekant. 



Således äro värdena 



^2(^1) ^2(^2) • • • ^2(^0 • • • • 

 i allmänhet från hvarandra skilda, d. v. s. mot ett värdepar 

 (fl (f-^ svarar i allmänhet ett enda 2:-värde inom fundamental- 

 polygonen. Häraf följer, att hvarje mot gruppen G svarande 

 invariant funktion låter framställa sig som en entydig funktion 

 af värdeparet ay i den analytiska bild, som definieras af sy- 

 stemet: 



a: = (fi{z) \ 



y = (pi{^) \ ' 



Man äger naturligtvis ett stort spelrum vid valet af funk- 

 tionerna ff■^ och cf.^ och jag har endast velat visa ett sätt att 

 bilda ett sådant funktionspar. 



Då man har ett ändligt antal fundamentalcirklar, kan man 

 lievisa, att hvarje invariant funktion låter rationelt framställa 

 sig i tvännp .t och ?/, som äro förlnmdna genom en viss algebraisk 

 likhet. 



