ÖFVERSIGT AP K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 18 90, N:0 5. 263 



I det allmänna fallet kan man emellertid icke bevisa mera 

 än hvad jag nu bevisat. Ty om z på en väg, som helt och 

 hållet tillhör fundamentalpolygonen, närmar sig ett för gruppen 

 G singulärt ställe z^ af första slaget, så närmar sig stället xy 

 ett visst ställe Xf^y^. Bildar man således en entydig funktion af 

 värdeparet xy på det sätt, att stället x^y^ är väsentligt singu- 

 lärt, men att hvarje annat bilden tillhörande ställe är regulärt 

 eller oväsentligt singulärt, så måste denna funktion, betraktad 

 som funktion af z^ vara af rationel karaktär inom hela funda- 

 mentalpolygonen. Dessutom är det tydligt, att den ifrågavarande 

 funktionen är oförändrad för alla till gruppen G hörande sub- 

 stitutioner, d. v. s. denna funktion är i vår mening en invariant 

 funktion. Men den låter icke rationelt uttrycka sig i värde- 

 paret xy . 



Altså är det omöjligt att finna tvänne invarianta funk- 

 tioner X y sådana, att alla andra låta rationelt uttrycka sig 

 i värdeparet xy. 



Införa vi nu den bekanta Substitutionen 



1 I dx 1 I dx 



så är 



gyct^x dx rtid'^xV^ 



\dz] 



Den funktion af 0, som står i tredje membrum af denna dubbel- 

 likhet, är en invariant funktion och låter således framställa sig 

 som en entydig funktion af värdeparet xy. Vi beteckna denna 

 funktion med F{xy). 



Då äro således v^ och v^ tvänne oberoende integraler till 

 den linjära differentiallikheten 



dP'V 



-^, = vF{xy). 



Kvoten mellan dessa båda integraler är lika med z. Den obe- 

 roende variabeln x är således en invariant funktion af kvoten 

 mellan tvänne oberoende integraler till vår linjära difFerentiallikhet. 



