280 DE BRUN, IxWARIANTA UTTRYCK FÖR POINCARÉSKA SUBSTITUTIONEN. 



I detta fall blifva invarianterna utom (29) — (34) 

 de dl 



b' — "h ~ '% — "«] 

 de , dx 



V- 



düü 





" i^' 



— m 



diö 



iP 



in 



— m' 



J- 



+ 



dv 





~ - C^ 



■ — m 

 dv 



^f 



(36) 



dco 

 dco 



dv' 



(y^=^;^3 



dv' 

 (//'— m\y^ ~ {r] — 7n'^Y 

 Här betyder m^ och m'j §- och /;-koordinaterna för ^j . Dessa 

 uttryck äro invarianta för hela den klass af generaliserade hy- 

 perboliska substitutioner, som har Ci och =« till dubbelpunkter. 

 (36) har en analog geometrisk betydelse som (11), (13) och (15). 



Slutligen vill jag söka invarianta differentialuttryck för den 

 c/rujyp af generaliserade substitutioner, som har °o till enda 

 duhhelpunht. 



I detta fall är Substitutionen parabolisk. Man har 



z' = z + ß 



Låt 

 Då är 



iS = Ne>''. 



C' = r- 



S' Sin v — f]' Cos v = t. Sin r — Cos j/. 

 Af den öfre likheten samt af Poincarés teorem följer, att 



de' ^±dc ] 



dCu' = doj \ (37) 



dv' = ± dv . \ 

 Således: en kurvas bäglängd t, en ytas area w och volym v äro 

 invarianta för den grupp af generaliserade substitutioner, som 

 har CO till enda dubbelpunkt. 



