ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1890, N:0 5. 285 



^.=^'t^^- V {^^((^x) + |/r''(?-) log ^^' + • • • +9n{Q.) (log a^yy 



r = 



der då gr(j)) bestämmas genom rekursionsforralerna 



g rf {q + v) + f/r-l/i((^ + ^ — 1) + . . + .^o.M(>) = O 

 och 



^o(c) =/((^ + !)/((> + 2) • •/((> + 0'^((>), 

 hvarest e är större eller lika med differensen mellan två rötter 

 hvilka som helst inom gruppen och q{Q) en godtycklig funk- 

 tion af Q. 



Emedan åtminstone ej alla gy(QQ) kunna vara noll, är y« 

 den första integral efter y^, som kan vara fri från logaritmiska 

 termer och som således kan börja en ny grupp. För att ?/„ skall 

 sakna logaritmiska termer måste gr{Q) för q = Qa vara noll af 

 ordningen a. Eftersom gJ^Qa) är noll af nämda ordning och 



måste A„ (j)«) vara noll af samma ordning som /(q,, + ?i„) = ./(Co) 

 och alltså af ordningen a. Då /;,((;„) för v > n„ äfven är noll 

 denna ordning, är detta äfven det tillräckliga vilkoret. Detta 

 kunna vi äfven se deraf, att </,((>«)• • ■ g»„_i(Q(t) ^ priori äro noll 

 af denna ordning, att med detta vilkor på /«»,/()«) är också 

 gv {i>a) det. I rekursionsformeln för f/,/((0 ^^" koefficienten för 

 .9'»„+ (c«)) der f.1 är ett positivt tal, aldrig blifva noll och hvarje 

 efterföljande term är noll af nämda ordning a, således måste 

 äfven On , (o) vara det. 



Då ej alla g,{Qu) äro noll af högre ordning än a, måste 

 ija+i, ■ . ■ yß—i innehålla logaritmiska termer. För att 2/0 skall 

 kunna börja en ny grupp måste <7,/((>o) vara noll af ordningen ß. 

 Som <7o((^?) uppfyller detta vilkor, måste 



/((> + l).. /•(()+.)' 

 städse vara ändlig och således finß(Qß) "oll af samma ordning 



