286 JOHANSON, INTEGKALEU VID LIKEÄRA DIFFERENTIALEaVATIONER. 



som f{Qß + uß) = /(()„) d. V. s. af ordningen ß — a och /i«,.+n^((>^) 

 noll af samma ordning som /((> ^ + n^ /{q^ + n-, + na) =f{Qa) • /(qq) , 

 alltså af ordningen ß. 



Om vi upprepa detta förfaringssätt, se vi att en integral 

 yi) saknar logaritmiska termer^ om för q = q^ 



hr(o) är för if = Qa — Qb noll af ordn. b — a 



Ca — Qb 



ly- 



tt 



l' = Qo — ^6 » » b 



der b, a, a' . . . äro tal i raden O, a, ß, . . . 



Antalet partialgrupper kan altså icke öfverstiga antalet 

 rötter On, o«, On-, • ■ och logaritmiska termer förekomma alltid, 

 om det fins lika rötter. 



Låta samtliga integraler t/^, ?/„, f/r,,--- framställa sig utan 

 logaritmer, bilda dessa första elementen i livar sin partialgrupp. 

 Antalet oberoende konstanter är nämligen i första gruppen a, i 

 andra ß — a, i tredje / — ß o. s. v. och således i samtliga 

 a + ß — cc + y — ß + • = /< och således lika många som 



antalet integraler. 



Låter integralen ?/p framställa sig utan logaritmer, utgöra 

 integralerna _y^ , y ^ ^^ . . y i^^—i en partialgrupp. Antalet oberoende 

 konstanter är /.< — 1. Äro ej vilkoren härför d. v. s. samtliga 

 vilkoren h,{<)^) uppfylda, innehåller den allmänna integralen 

 ya—\ii oberoende konstanter, hvadan således någon uppdelning 

 i partialgrupper ej eger rum. Aro åter dessa vilkor h,.(o^) 

 uppfylda hafva vi att upprepa samma förfarande med de öfriga 

 integralerna och behöfva dä ej alls taga i betraktande inte- 

 gralerna y^, ?/;^^ . .y^,-i. 



År h,,(Q) en konstant, är det f^io) som ensam bestämmer 

 integralernas form. Differentialeqvationen är då 



der t/„, a, . , «„_., äro konstanter. 



