386 KOBB, OMMAXIMA OCH MINIMA AF DUBBELINTEGRALER. 



vara en regulär funktion af de deri ingående variablerna och 

 betrakta dubbelintegralen 



/= CfF{xyzz'z")dydx (1) 



utsträckt inom någon viss sluten kurva 



hvilken vi antaga ej är underkastad någon variation. 

 Vi skola nu bestämma en yta 



z = zixy) 



sådan att (1) blir ett maximum eller ett minimura. 



Den förändring, integralens värde undergår, då z utbytes 

 mot 2; +C, angifves genom eqvationen 



A 7 = jj[F{x,y, z + t, z' + r, z" + C) — F{xyzz'z")]dyda; 

 eller genom att utveckla differensen 



, rr\dF ^ dF ^, dF .„K ^ 



der H innehåller termerna af andra och högre ordning. 

 Medelst de identiska relationerna 



9.7? W ]~ dz'' dx'^ ^dÅ W I 



dxydz'] dz' dx -dx\dz 



±l^dF\_dF d^ d^ld. 

 dy\ ' dz" I dz" dy ' dy\ dz 



transformera vi (2) uti 



, CCidF didF\ didF\V^ . CidF^, öi^_ | „ ^^, 



I den enkla integralen är integrationen utförd längs gränskurvan 



f{xy) = O, 



men, om den varierade ytan antagas gå igenom samma gräns- 

 kontur som den ursprungliga, är 



