ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1890, N:0 7. 387 



längs gränsen, och följaktligen försvinner den enkla integralen. 

 Således 



^ rr{dF dldF\ d idF\\^^ ^ ^ 



Skall nu a 1 för alla värden på ^ behålla samma tecken, måste 

 l:sta variationen försvinna. 



Man kan lätt visa, att denna eqvation nödvändigt leder till 

 eqvationen 



^ dF dldF\ didF\ _ ... 



hvilken är en partiel diflferentialeqvation af andra ordningen, som 

 bestämmer alla de ytor, hvilka kunna göra (1) till ett maximum 

 eller minimum. 



Vi antaga nu, att vi ha funnit en yta, som satisfierar (4) 

 och går igenom den gifna konturen. För att afgöra, huruvida 

 denna yta gör integralen (1) till ett maximum eller minimum 

 inslå vi följande väg. 



Först måste vi afgöra, huruvida det existerar någon annan 



yta, som satisfierar samma diiferentialeqvation, går igenom samma 



kontur och i hvarje punkt skiljer sig godtyckligt litet från den 



förra. Härvid kunna vi använda följande allmänna sats: 



»Låt 



(D{xyz . . .) = O 



vara en partiel diiferentialeqvation af andra ordningen, som är 

 linear med afseende på derivatorna af andra ordningen, z och 

 2; + C tvänne integraler till denna, som gå genom samma slutna 

 kontur, å(D termerna af första ordningen i utvecklingen af diffe- 

 rensen 



a){wy^z + ^ .) — ^{^y^ ■ ■) 

 och betrakta dubbelintegralen 



jjlÖ(l)dydx 



