394 KOBB, OM MAXIMA OCH MINIMA AF DUBBELINTEGRALER. 



aldrig blir positif och för att integralen skall vara ett minimum, 

 att densamma aldrig blir negatif.» 



Funktionen £ försvinner identiskt, som man lätt kan se, då 



Vi antaga nu, att vilkoren (7) äro uppfylda, äfvensom att 

 funktionen £" för hvarje punkt af ytan G, som går igenom den 

 gifna konturen, bibehåller ett konstant tecken. Då existerar det 

 ett visst rum omkring G, sådant att för hvarje godtycklig sluten 

 kontur derinom det endast existerar en enda yta G. 



Inom detta rum taga vi en viss kontur iTj mycket nära K, 

 sådan att det existerar en yta G, som går derigenom och helt 

 och hållet ligger inom rummet, samt bilda funktionen 8 för denna 

 kontur. Ligger nu K^ tillräckligt nära K, så har denna nya 

 funktion 8 säkert samma tecken som densamma för konturen K. 

 Det existerar således omkring ytan G ett rum (A) med följande 

 egenskaper. 



1) Om det inom detsamma finnes en yta G, som går igenom 

 en gifven kontur, så finnes det blott en enda sådan yta. 



2) Funktionen 8 har alltid samma tecken och försvinner 

 utan att vexla detsamma. 



Man kunde nu fråga, huruvida det ej inom detta rum exi- 

 sterar någon yta längs hvilken 8 ständigt vore noll. Man kan 

 emellertid förvissa sig om, att utom den ursprungliga ytan G, 

 det ej existerar någon sådan. 



Sedan vi ådagalagt existensen af detta rum A, skola vi 

 visa, att integralen (1) utsträckt öfver den yta, som satisfierar 



G = 



i det fall då 8 aldrig blir positif, är större, och då 8 aldrig blir 

 negatif, är mindre än samma integral, utsträckt öfver hvarje 

 annan regulär eller irregulär yta, som ligger inom A och går 

 igenom den gifna konturen C. Låtom oss först antaga en re- 

 gulär yta F, som går genom C och ligger inom A. På ytan F 

 taga vi tvänne slutna närbelägna konturer K och K', så- 



