396 KOBB, OM MAXIMA OCH MINIMA AF DUBBELINTEGRALER. 



om 6"^^^ är ett medelvärde. Följaktligen är 



och 



lim S{n + dQ) — S{n) 



1 = dQ 



dS{Q) 



= — £ 



än =-'" C^) 



Är nu 8 aldrig positif, är städse 

 € <0 



m 



och följaktligen växer S (Q) ständigt samt uppnår sitt största 

 värde, när K uppnår gränsen C. Men, dä är 



S {Q)= {{ Fdydx 



G 



och å andra sidan är 



S (0) = f f F dij dx 



hvarvid i bägge integralerna integrationen är utsträckt intill 

 konturen C. Följaktligen 



ffr dy dx > ff F dy dx (13) 



G r 



Vi ha hittills antagit, att ytan F är regulär, men det är 

 lätt att se, det olikheten (13) består, äfven då F är sammansatt 

 af ett ändligt antal regulära stycken. 



Vid bildandet af funktionen E hafva vi visserligen förutsatt, 

 att de båda konturerna K och K' äro regulära, men, detta är 

 ej alldeles nödvändigt; de kunna mycket väl vara sammmansatta 

 af ett ändligt antal regulära stycken. Vi måste emellertid i 

 sådant fall gifva åt vinkeln co olika värden för hvarje regulärt 

 stycke af konturen, ocli uppdela vår integral i ett visst antal 

 delintegraler. 



