398 KOBB, OM MAXIMA OCH MINIMA AF DUBBELINTBGRALER. 



Vi konstruera vidare omkring T en viss rymd A\ belägen 

 inom A, men sådan, att åtminstone en del af ytan G ligger 

 utom densamma. 



För hvarje polyederyta inom A', hafva vi (13) 



(( Fdydx—\\ Fdydx>Q 

 G r 



Då denna differens aldrig kan blifva noll, har den säkert 

 inom A' en undre gräns. Välja vi nu en positif qvantitet h 

 mindre än denna gräns, är för hvarje yta F' derinom 



({ F dy dx —{{Fdydx>h (15) 



G r 



Låt oss vidare välja 



\Ö\<li (16) 



och r' sådan, att (14) är uppfyldt, så erhålla vi af (14) och (15) 



{{ Fdy dx > ({ Fdy dx + h — å 

 G r 



eller på grund af (16) 



j j F dy dx > j i F dy dx 

 G r 



Detta, alltid under förutsättningen, att € aldrig är positif. 

 Är deremot 8 aldrig negatif erhålla vi 



(( Fdydx<({ Fdydx 



Härmed är ytans maximal- eller minimal-egenskap full- 

 ständigt bevisad. 



Den metod för undersökningen af maxima och minima af 

 dubbelintegraler, som jag här framstält, är i princip analog med 

 den. Herr Weierstrass gifvit för enkla integraler och det är 

 lätt att se, det densamma också kan användas på multipelinte- 

 graler, ehuru då de erhållna vilkoren måste blifva ytterst kom- 

 plicerade. Men äfven för de enkla integralerna låter metoden 



