502 VON KOCH, OM ANVÄNDNINGEN AF OÄNDLIGA DETERMINANTER. 



äga rum. Man erhåller en utveckling af formen 



(1 + ejnPil-^ = 1 + (PTiiL^f p/eziü) , 



ml \ m I \ m I 



där Vd- —\ är en potensserie i ^ ^, som för de nämda 



\ 771 J m 



()- och ?7i-värdena till sitt absoluta belopp ligger under en viss 



gräns. Häraf och af konvergensen hos serien 



Q — Qi 



2 



+ 



Q — ih'^ , 



. + 



Q — Qn 



771 





m 





m 



följer lätt, att serien 



■^m I y.mm\Q) ■•■ | 



för ^-värden inom A är konvergent. Således tillhör — för 

 hvarje dylikt jp- värde — 1\q) den klass af oändliga determi- 

 nanter (»determinanter af formen z/»), som behandlats i föreg. 

 uppsats ^). Således är (5, sats 2) determinanten D{{)) konvergent 

 inom området A^ således beständigt konvergent. Genom att 

 använda samma bevismetod som i I (s. 230) ser man lätt, att 

 D{q) låter utveckla sig i en serie, som jemte det, att den kon- 

 vergerar absolut, äfven inom hvarje ändligt område är likformigt 

 konvergent; således kan D{q) skrifvas under formen af en be- 

 ständigt konvergerande potensserie. 



För att finna det samband, som existerar mellan determi- 

 nanterna D{()) och ^{q) , bilda vi produkten 



+ oo 



^{q) ■ (piQ) • TI' XmmiQ) 0«^=0) ; 



»J = ^00 



af formel (12) framgår genast, att den tredje faktorn är en ab- 

 solut konvergerande produkt; multiplikationen kan därför utföras 

 på det sätt att — för hvarje index ?n — elementen i den ?w:te 

 raden af Q{q) multipliceras med X""«((>) > ^^ blir 



') Bidrag till teorin för oändliga determinanter; Ofvers. af K. V. A. Förh. 

 1890, N:o 8. Emedan denna uppsats i det följande flerestädes citeras, skall 

 jag för korthetens skull beteckna den med B. 



