516 VON KOCH, OM ANVÄNDNINGEN AF OÄNDLIGA DETERMINANTER. 



hvaraf följer 



Alldenstund funktionerna /?to((>) inom ändligt område sakna noll- 

 och oändlighetsställen, är högra membrum i denna likhet för 

 (; = q' noll af ordningen // ; således äro funktionerna 



eller, som är detsamma, funktionerna 



w,p(|),.., 



p 



noll för Q ^= q'; med andra ord: om vi sätta 



äro funktionerna yi'~''Ha;,Q') (^ = 0, I, . . /ii — 1) integraler till (1),-; 

 är f.1^ = O d. v. s. ^j i-, (()') 4= O , ha vi härmed erhållit u inte- 

 graler, som ej äro identiska nollor. Men betrakta det allmänna 

 fallet: /iii>0; då äro funktionerna ?/j (a?, (>'),?/' (i?;, ^'),..,?/j(/^i-i> (^•,^/) 

 identiska nollor, men ?//'''' ^ (.'??, ()') ej identiskt noll. 



Serien y^ {x, q) är med afseende på q inom hvarje ändligt 

 område likformigt konvergent; således erhålles ^i' (x,q) genom att 

 derivera den förstnämda serien term för term; och då, såsom 

 man lätt finner, den nya serien y^' (x, q) äfven konvergerar lik- 

 formigt, erhåller man y^" {oc, q) genom att derivera yi{cc,Q) term. 

 för term o. s. v. Man finner på detta sätt, att funktionerna 



yn = J OTxiQ')^' 



— "^v rj/*i+i)/„'\ , '"1 + ^ 





yn = ^^_ 



Ä'"^((>') + '^Ä'((>')Iog.r 



x^ 



+1 



\yu', = ^J^_ 



,(^-1)/ A . finJ: J^-2) 



'1 * 



x<^ 



■+l 



