520 VON KOCH, OM ANVÄNDNINGEN AF OÄNDLIGA DETERMINANTER 



\Ki [_yn\ + K, [5/21],, + . . + ^p 0^1],, = O 



(31) 



i 



1^1 iyn\ + K, [t/21],^ +.. + Kp [jjp,\ = O 

 då med [?/ri]^. förstås koefficienten för ;»?'+*« i serien yr\', man har 



[yr\\ = ^ för s<r 

 =)= O » s = r , 



hvaraf följer, att determinanten för det med afseende på Äj, 

 K^, . . Kp lineära ekvationssystemet (31) är skild från noll, så- 



ledes måste 



K^r=K, = . .=Kp=() 



hvilket visar, att ?/ii, 3/21, • • yp\ verkligen äro lineärt oberoende. 

 Häraf åter är det lätt att se, att alla de /.i integraler, som vi 

 erhållit, äro af hvarandra lineärt oberoende; ty i hvar och en af 

 dem är koefficienten för den högsta potensen af log x lika med 

 en bland integralerna yu, 3/21,.. yp\ multiplicerad med någon 

 viss talfaktor; hvarje linear homogen funktion af våra integraler: 



W = .^r, s ^rs yrs (s = 1 . . Vr ; r = 1 . .p) 



låter således skrifva sig som en hel rationel funktion af logÄ?, 

 där koefficienten för den högsta potensen af log x är linear 

 och homogen i funktionerna y^, y^i, . . ypi', men då en funktion 

 u af detta slag ej kan vara identiskt noll med mindre än att i 

 densamma koefficienterna för de olika potenserna af log x äro 

 identiska nollor, skulle vi ledas till en linear homogen relation 

 mellan yn, y-n, yp\', detta nödgar oss att sätta vissa bland kon- 

 stanterna Krs = 0; härigenom öfvergår, såsom man lätt finner, 

 koefficienten för den därnäst högsta potensen af log a* i funk- 

 tionen XL till att bli linear och homogen i funktionerna yn, 3/21, • • 

 ■ ■yp\-, hvaraf blir en följd, att ytterligare några af konstanterna 

 Krs måste sättas = 0; o. s. v. 



Emot den ^(-faldiga roten (> = (/ svara således a af hvar- 

 andra lineärt oberoende integraler yn . .yp,^; då sak samma gäller 



