ÖPVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAU. FÖRHANDLINGAR 1890, N:0 9. 521 



för öfriga nollställen till JD{q), och då summan af ordningstalen 

 för ett system inkongruenta nollställen är lika med w, inse vi 

 lätt, att på detta sätt erhållas inalles n af hvarandra lineärt 

 oberoende integraler, eller m. a. o. ett fundamentalsystem inte- 

 graler till den gifna differentialekvationen. 



Som vi sett, sönderfaller den till Q = Q hörande gruppen af 

 (x integraler i p stycken partialgrupper: 



yn ■ ■ y\v, 

 2/21 • • y^v^ 



yp\ ■ ■ y.pvf ; 



om vi betrakta en sådan partialgrupp af v integraler, synes ome- 

 delbart af dessas form, att antalet potenser af log cc, som öfver 

 hufvud taget förekomma inom partialgruppen (inclusive potenser 

 af formen (log .vf) eller, som är detsamma, antalet af uppträ- 

 dande entydiga funktioner är 1 + 2 + . . + j/; men mellan dessa 

 funktioner bestå 1 + 2 + .. + j^ — 1 lineära, homogena, heltaliga 

 relationer, och således är antalet af hvarandra lineärt oberoende 

 entydiga funktioner inom partialgruppen ej större än i*; i uttrycken 

 för våra (.i integraler förekommer det således ej mer än ij + v^ + 

 . . + Vp = f.i, och således, öfver hufvud taget, i alla våra n inte- 

 graler, ej mer än n dylika oberoende funktioner, d. v. s. det 

 nödvändiga och tillräckliga antalet. Lineära homogena relationer 

 mellan koefficienter för log x i integraler tillhörande skilda par- 

 tialgrupper äro således ej möjliga. 



Låt /^j, /Jo, • . rir vara godtyckliga funktionseleraent till inte- 

 gralerna i en af de till q^^q hörande partialgrupperna; beteckna 

 med y det värde, som en funktion y af x antager, efter det att 

 variabeln x beskrifvit en gång och i positiv led en sluten kontur, 

 som. helt och hållet ligger inom cirkelringen {RR), och som icke 

 skär sig själf; en blick på formen af våra integraler visar, att 



(32) 



>1\ = ^'^ ^\ 



^2 = W' (>'21 '?! + r/2) 



[rjr = CO (yrl ryi + . . + yr,r-l 'yr-l + rjr) , 



