522 VON KOCH, OM ANVÄNDNINGEN AF OÄNDLIGA DETERMINANTER. 



där to' = e^^^?' och koefficienterna y^ß äro vissa positiva heltals- 

 multiplar af 2m eller af dess potenser. 



Vi kunna således uttala denna sats: 



Tjåt Q = q' vara ett (.t-faldigt nollställe till D{q); låt 



ih \ ih h \ Ih • • i 



UJ' U, hl' ' ' \h ■ ■ K 



vara de mot q' svarande karakteristiska determinaiiterna 'och 

 l-i, fil, . ■ fiip—i de karakteristiska talen; emot Q ^ q' svarar då 

 en grupp af f.i integraler, hvilketi sönderfaller i p partialgrupper, 

 af hvilka den första innehåller /li — ^u, , den andra u^ — i-i^, • •, 

 den sista f.ip—\ integraler; livar je partialgrupp karakteriseras 

 däraf, att lineära, homogena, heltaliga relationer äga rum mellan 

 de entydiga funktioner, som uppträda inom densamma, men ej 

 mellan funktioner ur skilda partialgrupper, hvarvid antalet af 

 oberoende entydiga funktioner inom hvarje partialgrupp är lika 

 stort som antalet integraler ; den analytiska framställningen af 

 integralerna inom (RR') lemnas genom formlerna (29^^^, 29*^^)^ _ _ 

 29^^)), och den analytiska fortsättningen inom {RR') af ett sy- 

 stem af funktionselement t]i, tj^, . . rj,- till de r integralerna i en 

 viss partialgrupp är gifven under formen (32). 



Ar |i/j = O måste äfven ^o == /'.-j = • • = f^p— i = O, således 

 jj = fl, ?'2 = j'g = . . = Vp = 0. I detta fall bilda våra fi inte- 

 graler en enda partialgrupp, i hvilken log x uppträder ända till 

 fl — l:a potensen; i hvarje annat fall sönderfalla de i flera par- 

 tialgrupper; således: 



Det nödvändiga och tillräckliga vilkoret för att de till den 

 fi-faldiga roten Q = q' hörande integralerna alla skola tillhöra 

 samma partialgrupp är, att D{()) har en under determinant af 

 första ordningen, som för q = q' är skild från noll; med andra 

 ord: att antalet af de karakteristiska talen för (> = (>' är ett. 



Af alla (Ui till q' hörande integralerna: 



.yii • • «/iv,; JM ■■ y-iv^\ ■ ■; jm ■ • j/pv, 



äro endast y^, y2], ■ ■ y,,\ fria frän log x\ för att till (>' skola 



