130 BERGER, NÅGRA INDEPENDENTA UTTRYCK FÖR DE BERNOULL. TALEN. 



§ 1- 



Af eqv. (2) och formeln 



(3) ^'=i + r + r2 + rTr3 + --- 



erhålles 



eller, efter utförandet af multiplikationen i högra membrum, 



^(0) 



%y^ + 



r5) . - ^^\ + /^(^^ + ^(0)1/5(2) ^(1) ^ 



Sätta vi koefficienterna för ?j™ i båda membra lika med 

 hvarandra, så finna vi 



k = m 



(6) 5(0) = 1 , V x^^":^^ = o för^n > 2. 



k = l 



Medelst dessa formler kunna de BERNOULLl'ska talen lätt 

 beräknas. Om vi nämligen i den andra af dessa likheter sätta 

 m successive lika med 2, 3, 4, ... , och lösa de sålunda erhållna 

 eqvationerna, så finna vi de BERNOULLl'ska talens värden; de 

 tio första äro 



(7) 5(0) = 1, 5(1) =: -1, 5(2) ^ 1, 5(3) = O, 



Vi skola nu ur eqv. (6) härleda ett independent uttryck 

 för de BERNOULLl'ska talen. Om vi i den andra af eqv. (6) 

 införa 



m = 2, 3, 4, . . . M, 71 + 1 , 



der n är ett helt positivt tal, och om vi vidare använda be- 

 teckningen 



