132 BERGER, NÅGRA INDEPENDENTA UTTRYCK FÖR DE BERNOULL. TALEN. 



^(3)=- 



^2, 



h^ 







^3' 



62, 



\ 



K, 



63, 



h 



= 0, ^(4) = 



^^2. 



W^ 



0, 









^3, 



b^, 



^1, 







1 



h^ 



63, 



60, 



^1 



~ 720 



h^ 



^4, 



^3' 



b. 





§ 2. 

 Om vi i eqv. (2) ersätta v med — 2v och med — 4v, samt 

 subtrahera de sålunda erhållna likheterna från hvarandra, så 

 erhålles serieutvecklingen 



2v 



(12) • 



+ 



,=£ 



B(k)(— ly 2/^(2^ — ly , 



och om vi använda beteckningen 



(13) Än = (- 1)«2''(2» - l).1.2.3...n.5(n), 



så kan eqv. (12) sättas under formen 



(14) 



F^^mH,'" / yl.2.3...Ä;' 



Efter division med v erhålles häraf 



i =00 



(15) -å^ 



1.2.3...Ä:' 



och alltså är enligt Maclaurins formel för n'^ 1 



(16) 



An^ n 





1 + Ö' -'!v=0 



Om vi nu bilda de successiva derivatorna af funktionen 



2 



1 + e- 



■2v 



så finna vi 



d i 



4e- 



dv\\ + e-^"! (1 + e-2'')2' 



