181 



Öfversigt af Kongl. Vetenskaps-Akademiens Körhaudliugiir 1889. N:o 3. 



Stockholm. 



Meddelanden från Stockholms Högskola. N:o 90. 



Ora den konforma afbildningen af en paraboloid på 



ett plan. 



Af Helge von Koch. 



[Meddeladt den 13 Mars 1889 genom G. Mittag-Leffler.] 



I en af vetenskapsakademien i Köpenhamn prisbelönt täf- 

 lingsskrift framstälde Gauss i) den differentialekvation, till hvil- 

 ken problemet att konformt afbilda tvänne ytor på livarandra i 

 allmänhet för, samt integrerade densamma för rotations-, cylin- 

 driska och koniska ytor. Det resultat, till hvilket Gauss kom- 

 mer, kan i korthet sammanfattas på följande sätt: »Låt båg- 

 elementet i en bugtig yta vara ds samt låt P och Q vara ko- 

 ordinaterna för en punkt i det plan, på hvilket densamma skall 

 konformt afbildas; om det är möjligt att finna sådana funktioner 

 n, p, ^ af koordinatern a för en punkt i ytan, att ds- = n 

 (dp"^ + dq^), då erhålles den allmänna lösningen af problemet 

 genom att sätta 



p + iq = (f) {P + iQ) och 

 p — iq=ip (P — iQ) , 

 der (f och ip beteckna godtyckliga funktioner.» 



Stödjande sig på detta resultat, visade Jacobi i ett före- 

 drag inför Berliner-akademien år 1839, att man genom införande 

 af elliptiska koordinater kan framställa dessa funktioner n, p, q 

 för hvilken andra grads yta som helst. 1 en efter hans död 

 offentliggjord af handling ^j utför han undersökningen för ellipsoi- 



') Astronomische Abhandlungen, herausgegebene von Schumacher, III Heft. 



Altena 1825. 

 ^) Jacobi, Gesammelte Werke, II, pag. 401. 



