182 V.KOCH, DEN KONFORMA AFBILDN. AF EN PARABOLOID PÅ ETT PLAN. 



den, en undersökning, som for öfrigt redan år 1858 blifvit ut- 

 förd af Schering^). Afsigten med den föreliggande uppsatsen 

 är att söka visa, huru undersökningen bör ställas och till hvilka 

 resultat man kommer i det fall, att man önskar konformt af- 

 bilda en pa?'a6o/^s/:: yta på ett plan. 



En paraboloids ekvation kan skrifvas 



?2 



under förutsättning att origo tankes förlagdt till focus för ytans 

 principalsektion i /ctz-planet. 



Utan att problemets allmänhet derigenom inskränkes kan 

 man i (1) förutsätta a positiv och denna ekvation representerar 

 då en elliptisk eller hyperbolisk paraboloid beroende på tecknet 

 och storleken af t. Om vi för ett ögonblick betrakta {xyz) så- 

 som en gifven punkt i rummet och (1) såsom en ekvation med 

 afseende på t, finna vi att densamma har tre reela rötter /j, 

 ^2 5 A3 så beskaffade, att 



^>l, >^>i.> — u>h>—^; (2) 



eller med andra ord: det är alltid möjligt att genom en god- 

 tycklig punkt {xyz) lägga tre andra grads ytor af formen (1). 

 Ekvationerna för dessa ytor äro: 



y' + ^V — 2'« — ^1 = O (aj 1 



Äj il 4- Äj 



+ 



2:c - Ä. = O (b) V (3) 



f + -^-2..-A3 = (c)j 



På grund af (2) inses att (a) och (c) representera elliptiska 

 paraboloider, (b) en hyperbolisk paraboloid; man ser lätt att 

 dessa ytor äro konfokala, d. v. s. att deras principalsektioner 



') Ueber die conforme Abbildung deä Ellipsoids auf der Ebene. Eine von der 

 philosophischen Facultät der Georgia Augusta am 4 Juli 1858 gekrönte 

 Preisschrift. Göttingen 1.858. 



