184 V.KOCH, DEN KONFORMA AFBILDN. AF EN PARABOLOID PÅ ETT PLAN. 



T^ + 7 TTT T-. + 1=0 (4) 



således «lao + /?, /?2 + J'i/s ^ 0; dermed är påståendet bevisadt. 



Läget af en punkt a:yz bestämmes således af tre konfokala 

 och ortogonala paraboloider a, b, c; men emedan dessa kunna 

 anses kända om Aj A^ A3 äro gifna, kan man betrakta x y 

 och z såsom funktioner af Aj ^2 ^^ A3. 1 analogi med be- 

 nämningen »elliptiska koordinater» kunna vi kalla Aj Aj och 

 A3 punktens xyz »paraboliska koordinater». För att nu finna 

 det verkliga sambandet mellan de rätvinkliga och de paraboliska 

 koordinaterna betrakta vi åter ekvationen (1) och tänka oss 

 nämnarne bortmultiplicerade samt alla termer öfverflyttade till 

 högra merabrum. Den i afseende på t konstanta termen blir då 

 — i-iy"^ och emedan ekvationens rötter i afseende på t äro Aj Aj 

 och A3 har man enligt en känd sats ur algebran 



koefficienten för andra potensen af t är 2x + (.1', följaktligen 



2x = —iii— (A, + A2 + A3) (6) 



Om man i första nämnaren i ekv. (1) skrifver (f.i + t) — [.i 

 i stället för t och betraktar ekvationen såsom en ekvation i 

 (/il + t) finner man pä alldeles samma sätt 



-;,Z^- = (p+?.,)(^ + ?.,)(^l + X,) (7) 



Genom differentiation af de sist erhållna formlerna erhålles 



2iiydy^2 ^a^ßd?.^ 



(8) 



a+ß+y=6 



2f.izdz = — y (a + Xa) (lii + lß)dly (9) 



a+ß+y=a 

 3 



2dx = —y dly (10) 



Af dessa ekvationer följer 



