186 V.KOCH, DEN KONFORMA AFBILDN. AF EN PARABOLOID PÅ ETT PLAN. 



Om man i systemet (3) sätter A^ = en konstant samt låter 

 ^2 och A3, hvilka kunna betraktas såsom de oberoende variab- 

 lerna, antaga alla möjliga värden, som äro förenliga med vil- 

 koren (2), antaga xyz alla möjliga värden förenliga med ekva- 

 tionen (a); eller med andra ord: systemet (3) representerar en 

 elliptisk paraboloid. På samma sätt finner man att om l^ = 

 konst (3) är en hyperbolisk paraboloid och för A3 = konst en 

 elliptisk paraboloid. 



1) Elliptisk paraboloid. Vi kunde sätta antingen \ = 

 konst eller A3 = konst; om vi välja det senare alternativet blir 

 dl^ = O, och man erhåller såsom uttryck för bågelementet för 

 den ifrågavarande ytan 



,7.2 _ hlT ^2] h — h 7; 2 ^^iZzi3_ ji2 



Om vi ponera 



och 



hvaraf följer: 



^ J\h(^'+h) Jyhiß + h) ' ' 



behöfver man enligt den anförda Gaussiska satsen blott sätta 



p + iq --= f,iP + iQ) ; p-ig=MP-iQ), (14) 



der /, och f^ äro arbiträra funktioner, för att erhålla den all- 

 männa lösningen af vårt afbildningsproblem. 



För att transformera uttrycket för p sätta vi 



——T = tg (^ , 

 hvaraf följer Ao = —it sin- rp, d}.2== — 2,u sin cp cos cpdcf, alltså 



'^^^ = — 2dxp och VAo — /3 = V— A3 ■ V/l + f ^'"' ^ 



V— A,0/ + A,) 



